Az exponensek és a gyökök törvényei (példákkal)

Az exponensek és a radikális törvények egyszerűsített vagy összefoglaló módszert vezetnek be a hatalommal történő numerikus műveletek sorozatának végrehajtására, amelyek matematikai szabályok sorozatát követik.

A maga ⁿ kifejezését a hatalomnak nevezzük, (a) az alapszámot jelöli, és (nem az n-edik) az az exponens, amely jelzi, hogy hányszor kell az alapot szorozni vagy emelni az exponenssel kifejezve.

Az exponensek törvényei

Az exponensek törvényének célja egy numerikus kifejezés összefoglalása, amely teljes és részletesebb kifejezés esetén nagyon kiterjedt lenne. Ez az oka annak, hogy sok matematikai kifejezésben hatalomnak vannak kitéve.

Példák:

5 ² megegyezik az (5) ∙ (5) = 25. Vagyis 5-t kétszer kell szorozni.

2 ³ megegyezik a (2) ∙ (2) ∙ (2) = 8. Vagyis a 2-t háromszorosa kell szorozni.

Ilyen módon a numerikus kifejezés egyszerűbb és kevésbé zavaró.

1. Teljesítmény 0 kitevővel

Bármely szám, amelyet egy 0 exponenssel megemelnek, egyenlő 1. Meg kell jegyezni, hogy az alapnak mindig különböznie kell 0-tól, azaz ≠ 0-tól.

Példák:

a ⁰ = 1

-5 ⁰ = 1

2. Teljesítmény az 1. exponenssel

Az 1-es exponenssel megemelt szám egyenlő önmagával.

Példák:

a ¹ = a

7 ¹ = 7

3. Ugyanazon bázis teljesítményének szorzata vagy ugyanazon bázis teljesítményének szorzata

Mi van, ha van két azonos bázisa (a), különböző exponensekkel (n)? Vagyis ⁿ ∙ a ^m-re. Ebben az esetben az azonos bázisokat fenntartjuk, és hozzáadjuk a hatalmukat: a ⁿ a a ^m = a ^{n + m}.

Példák:

2 ² ∙ 2 ⁴ ugyanaz, mint (2) ∙ (2) x (2) ∙ (2) ∙ (2) ∙ (2). Vagyis a 2 ^{2 + 4} kitevőket ^hozzáadjuk, és az eredmény 2 ⁶ = 64.

3 ⁵ ∙ 3 ^-2 = 3 ^{5 + (- 2)} = 3 ^5-2 = 3 ³ = 27

Ez azért történik, mert az exponens azt jelzi, hogy hányszor meg kell szorozni az alapszámot. Ezért a végső kitevő az azonos bázissal rendelkező exponensek összeadása vagy kivonása lesz.

4. A hatalommegosztás azonos bázissal, vagy két hatalom hányadosa azonos bázissal

Az egyenlő bázis két teljesítményének hányadosa megegyezik az alap növelésével a számláló exponensének különbsége alapján, a mínusz a nevezővel. Az alapnak különböznie kell 0-tól.

Példák:

5. A termék hatalma vagy a felhatalmazás elosztó törvénye a szorzás szempontjából

Ez a törvény megállapítja, hogy a termék teljesítményét minden tényezőnél azonos exponenciára (n) kell növelni.

Példák:

(a ∙ b ∙ c) ⁿ = a ⁿ ∙ b ⁿ ∙ c ⁿ

(3 ∙ 5) ³ = 3 ³ ∙ 5 ³ = (3 ∙ 3 ∙ 3) (5 ∙ 5 ∙ 5) = 27 ∙ 125 = 152.

(2ab) ⁴ = 2 ⁴ ∙ a ⁴ ∙ b ⁴ = 16 a ⁴ b ⁴

6. Egy másik hatalom ereje

Arra utal, hogy a hatalmak megsokszorozódnak, amelyek ugyanazon alapokkal rendelkeznek, amelyekből egy másik hatalom erejét kapják meg.

Példák:

(a ^m) ⁿ = a ^{m ∙ n}

(3 ²) ³ = 3 ^{2 ∙ 3} = 3 ⁶ = 729

7. A negatív kitevő törvénye

Ha van egy negatív exponenssel rendelkező bázisa (a ^-n), akkor az egységet el kell osztani a bázissal osztva, amelyet a pozitív kitevő jelemel megemelnek, azaz 1 / a ⁿ. Ebben az esetben az a) alapnak 0-tól ≠ 0-ig kell lennie.

Példa: 2 ^-3 frakcióként kifejezve a következő:

Érdekes lehet az exponensek törvényei.

Radikális törvények

A radikális törvény matematikai művelet, amely lehetővé teszi számunkra, hogy az erő és az exponens segítségével megtaláljuk az alapot.

A gyökök azok a négyzetgyökerek, amelyeket a következő módon fejeznek ki, és egy szám megszerzéséből állnak, amely önmagában megszorozva azt eredményezi, ami a numerikus kifejezésben van.

Például a 16 négyzetgyökét a következőképpen fejezzük ki: √16 = 4; ez azt jelenti, hogy 4,4 = 16. Ebben az esetben nem szükséges a kimenetet a gyökérnél megjelölni. A többi gyökerben azonban igen.

Például:

A 8 kockagyökét a következőképpen fejezzük ki: ³ √8 = 2, azaz 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Egyéb példák:

ⁿ √1 = 1, mivel minden szám szorozva 1-gyel egyenlő önmagával.

ⁿ √0 = 0, mivel minden szám szorozva 0-val egyenlő.

1. Radikális törlési törvény

Az (n) energiára emelt gyökér (n) törlődik.

Példák:

(ⁿ √a) ⁿ = a.

(√4) ² = 4

(³ √5) ³ = 5

2. A szorzás vagy termék gyökere

A szorzás gyökere a gyökér szorzásával választható el, függetlenül a gyökér típusától.

Példák:

3. Egy osztás vagy hányados gyökere

A frakció gyöke megegyezik a számláló és a nevező gyökerének osztódásával.

Példák:

4. Gyökér gyökere

Ha egy gyökér van egy gyökér belsejében, akkor mindkét gyökér indexét meg lehet szorozni annak érdekében, hogy a numerikus mûveletet egyetlen gyökérre csökkentsük, és a gyökér megmarad.

Példák:

5. Egy hatalom gyökere

Ha egy gyökér belsejében nagy számú exponenssel rendelkeznek, azt úgy kell kifejezni, hogy a radikális index megnövelte az exponent osztását.

Példák: